Содержание
- Как написать о Центре тяжести
- Как рассчитать CG треугольника
- Центр тяжести Формула для прямоугольника
- Центр гравитационных уравнений
- Трюки для Нахождения Центра Гравитации
Прежде чем обсуждать центр тяжести, давайте предположим несколько параметров. Во-первых, вы имеете дело с объектом, который находится на поверхности Земли, а не где-то в космосе. И второе: объект достаточно маленький, скажем, не космический корабль, припаркованный на Земле, ожидающий взлета.Как только все эти внеземные влияния устранены, вы находитесь в прекрасном положении, чтобы рассчитать центр тяжести для геометрических объектов, используя относительно простую формулу - и фактически, из-за этих только что установленных условий, вы будете использовать ту же формулу, чтобы найти центр тяжести, как найти центр масс.
Как написать о Центре тяжести
Центр тяжести в двумерной плоскости обычно обозначают координатами (хCG, уCG) или иногда по переменным Икс а также Y с перекладиной над ними. Кроме того, термин «центр тяжести» иногда сокращается до cg.
Как рассчитать CG треугольника
Ваша книга по математике или физике часто содержит диаграммы для определения центра баланса определенных фигур. Но для некоторых распространенных геометрических фигур вы можете использовать соответствующую формулу центра тяжести, чтобы найти этот центр тяжести.
Для треугольников центр тяжести находится в точке пересечения всех трех медиан. Если вы начнете с одной вершины треугольника, а затем проведете прямую линию к средней точке другой стороны, это будет одна медиана. Сделайте то же самое для двух других вершин, и точка, где пересекаются все три медианы, является центром тяжести треугольников.
И, конечно, есть формула для этого. Если координаты центра тяжести треугольников (хCG, уCG), вы найдете его координаты так:
ИксCG = (х1 + х2 + х3) ÷ 3
YCG = (у1 + у2 + у3) ÷ 3
Где (х1, у1), (Икс2, у2) и (х3, у3) являются координатами треугольников трех вершин. Вы можете выбрать, какой вершине присваивается какой номер.
Центр тяжести Формула для прямоугольника
Вы заметили, что, чтобы найти центр тяжести для треугольника, вы просто усредняете значение x-координат, затем усредняете значение y-координат и используете эти два результата в качестве координат для вашего центра тяжести?
Чтобы найти центр тяжести для прямоугольника, вы делаете то же самое. Но чтобы сделать ваши расчеты еще проще, предположим, что прямоугольник ориентирован прямо на декартову координатную плоскость (поэтому он не установлен под углом), и что его нижняя левая вершина находится в начале графа. В этом случае, чтобы найти (хCG, уCG) для прямоугольника все, что вам нужно рассчитать, это:
ИксCG = ширина ÷ 2
YCG = высота ÷ 2
Если вы не хотите перемещать свой прямоугольник в начало координатной плоскости или если по какой-то причине он не совсем квадратный по отношению к координатным осям, вы можете столкнуться с этой немного пугающей, но все же эффективной формулой, чтобы усреднить все ее x-координаты найти значение хCGи усреднить все координаты y, чтобы найти значение yCG:
ИксCG = (х1 + х2 + х3 + х4) ÷ 4
YCG = (у1 + у2 + у3 + у4) ÷ 4
Центр гравитационных уравнений
Что если вам нужно вычислить центр тяжести для фигуры, которая соответствует всем впервые упомянутым предположениям (в основном вы не пытаетесь заниматься буквальным ракетостроением, находя центр тяжести для объектов в космосе), но он не попадает ни в одну из категории, только что упомянутые или в чартах в конце вашей книги? Затем вы можете подразделить свою форму на более знакомые формы и использовать следующие уравнения, чтобы найти их общий центр тяжести:
ИксCG = (а1Икс1 + а2Икс2 + , , + аNИксN) ÷ (а1 + а2 + , , + аN)
YCG = (а1Y1 + а2Y2 + , , + аNYN) ÷ (а1 + а2 + , , + аN)
Или, говоря по-другому, хCG равняется площади сечения, в 1 раз превышающей ее местоположение на оси X, добавляется к площади сечения, в 2 раза превышающей ее местоположение и т. д. до тех пор, пока вы не сложите местоположение всех сечений по времени; затем разделите всю эту сумму на общую площадь всех секций. Затем сделайте то же самое для y.
В: Как мне найти площадь каждого раздела? Разделение вашей сложной или неправильной формы на более знакомые многоугольники позволяет вам использовать стандартные формулы для поиска области. Например, если вы разделили эту форму на прямоугольные кусочки, вы можете использовать формулу длина × ширина, чтобы найти площадь каждого кусочка.
Q: Каково "местоположение" каждого раздела? Расположение каждой секции - соответствующая координата от центра тяжести этой секции. Так что если вы хотите у2 (местоположение для сегмента 2), вам действительно нужно предоставить координату Y для центра тяжести этих сегментов. Опять же, именно поэтому вы подразделяете объект странной формы на более привычные формы, потому что вы можете использовать формулы, которые уже обсуждались, чтобы найти центр тяжести каждой формы, а затем извлечь соответствующие координаты.
Q: Где моя фигура идет на координатной плоскости? Вы можете выбрать, где ваша фигура находится на координатной плоскости - просто имейте в виду, что ваш центр тяжести ответов будет относительно той же точки отсчета. Проще всего поместить ваш объект в первый квадрант вашего графа, при этом его нижний край направлен против оси x, а левый - против оси y, так что все значения x и y положительны, но также достаточно малы, чтобы управляемый.
Трюки для Нахождения Центра Гравитации
Если вы имеете дело с одним объектом, иногда вам нужно найти интуицию и немного логики, чтобы найти его центр тяжести. Например, если вы рассматриваете плоский диск, центр тяжести будет центром диска. В цилиндре его середина на оси цилиндров. Для прямоугольника (или квадрата) это точка, где сходятся диагональные линии.
Вы могли заметить здесь закономерность: если рассматриваемый объект имеет линию симметрии, центр тяжести будет на этой линии. И если он имеет несколько осей симметрии, центр тяжести будет там, где эти оси пересекаются.
Наконец, если вы пытаетесь найти центр тяжести для действительно сложного объекта, у вас есть два варианта: либо выхватить свои лучшие интегралы исчисления (см. Ресурсы для тройного интеграла, который представляет центр тяжести для неоднородной массы), либо введите ваши данные в специальный калькулятор центра тяжести. (См. Ресурсы для примера калькулятора центра тяжести для радиоуправляемых самолетов.)