Содержание
- Почему экспоненциальные функции важны
- От пары точек к графику
- Одна точка на оси X
- Ни одна из точек на оси X
- Пример из реального мира
Если вам известны две точки, которые попадают на определенную экспоненциальную кривую, вы можете определить кривую, решая общую экспоненциальную функцию с использованием этих точек. На практике это означает подстановку точек для y и x в уравнение y = abИкс, Процедура проще, если значение x для одной из точек равно 0, что означает, что точка находится на оси y. Если ни одна из точек не имеет нулевого значения x, процесс решения для x и y немного сложнее.
Почему экспоненциальные функции важны
Многие важные системы следуют экспоненциальным моделям роста и распада. Например, количество бактерий в колонии обычно увеличивается в геометрической прогрессии, а окружающая радиация в атмосфере после ядерного события обычно уменьшается в геометрической прогрессии. Взяв данные и построив кривую, ученые находятся в лучшем положении, чтобы делать прогнозы.
От пары точек к графику
Любая точка на двумерном графике может быть представлена двумя числами, которые обычно записываются в форме (x, y), где x определяет горизонтальное расстояние от начала координат, а y представляет вертикальное расстояние. Например, точка (2, 3) находится в двух единицах справа от оси y и в трех единицах выше оси x. С другой стороны, точка (-2, -3) находится в двух единицах слева от оси Y. и три единицы ниже оси х.
Если у вас есть две точки, (х1, у1) и (х2, у2), вы можете определить экспоненциальную функцию, которая проходит через эти точки, подставив их в уравнение y = abИкс и решение для а и б. В общем, вы должны решить эту пару уравнений:
Y1 = abx1 и у2 = abx2, .
В этой форме математика выглядит немного сложнее, но после нескольких примеров она выглядит менее сложной.
Одна точка на оси X
Если одно из значений х - скажем, х1 - равно 0, операция становится очень простой. Например, решение уравнения для точек (0, 2) и (2, 4) дает:
2 = ab0 и 4 = ab2, Так как мы знаем, что б0 = 1, первое уравнение становится 2 = a. Подстановка во второе уравнение дает 4 = 2b2, который мы упрощаем до б2 = 2 или b = квадратный корень из 2, что равно приблизительно 1,41. Определяющая функция тогда у = 2 (1,41)Икс.
Ни одна из точек на оси X
Если ни одно из значений x не равно нулю, решение пары уравнений будет несколько более громоздким. Henochmath показывает нам простой пример, чтобы прояснить эту процедуру. В своем примере он выбрал пару точек (2, 3) и (4, 27). Это дает следующую пару уравнений:
27 = ab4
3 = ab2
Если вы разделите первое уравнение на второе, вы получите
9 = б2
поэтому b = 3. Возможно, что b также будет равно -3, но в этом случае предположим, что оно положительное.
Вы можете заменить это значение на b в любом уравнении, чтобы получить a. Проще использовать второе уравнение, поэтому:
3 = а (3)2 который можно упростить до 3 = а9, а = 3/9 или 1/3.
Уравнение, которое проходит через эти точки, можно записать в виде у = 1/3 (3)Икс.
Пример из реального мира
С 1910 года прирост населения был экспоненциальным, и, построив кривую роста, ученые смогли лучше прогнозировать и планировать будущее. В 1910 году население мира составляло 1,75 миллиарда человек, а в 2010 году - 6,87 миллиарда человек. Принимая 1910 в качестве отправной точки, это дает пару точек (0, 1,75) и (100, 6,87). Поскольку значение x первой точки равно нулю, мы можем легко найти a.
1,75 = ab0 или = 1,75. Подстановка этого значения вместе со значениями второй точки в общее показательное уравнение дает 6.87 = 1.75b100, который дает значение b как сотый корень 6,87 / 1,75 или 3,93. Таким образом, уравнение становится у = 1,75 (сотый корень 3,93)Икс. Хотя для этого требуется нечто большее, чем скользящее правило, ученые могут использовать это уравнение для прогнозирования численности населения в будущем, чтобы помочь политическим деятелям в настоящем в разработке соответствующей политики.