Как упростить рациональные выражения: шаг за шагом

Содержание

• Шаги в упрощении рациональных выражений
• подсказки
• Предупреждение о знаменателе
• Упрощение рациональных выражений: примеры

Прежде чем вы начнете упрощать или иным образом манипулировать рациональными выражениями, выделите момент, чтобы рассмотреть, что такое само рациональное выражение: дробь с полиномом как в числителе, так и в знаменателе. Или, другими словами, отношение одного полинома к другому. Как только вы определили рациональное выражение, процесс его упрощения сводится к трем шагам.

Шаги в упрощении рациональных выражений

Процесс упрощения рациональных функций следует довольно простой дорожной карте. Первое, что вы должны сделать, это объединить подобные термины, если вы этого еще не сделали, чтобы помочь вам ясно видеть многочлены.

Далее, фактор каждого полинома. Иногда все, что вам нужно сделать, это написать каждый термин. Например, ясно, что 4x (который на самом деле является полиномом, хотя он имеет только один член) имеет два фактора: 4 а также Икс, Но с более сложными полиномами ваш лучший инструмент часто распознает шаблоны для определенных типов полиномов, о которых вы уже узнали. Например, если вы обращали пристальное внимание на свои формулы, вы можете помнить, что многочлен вида ² - б² факторы для (a + b) (a - b).

Как только ваши полиномы будут полностью учтены, последним шагом будет отмена любых общих факторов, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе. Результатом является ваш упрощенный полином.

подсказки

Предупреждение о знаменателе

Возможно, вы не удивитесь, услышав, что здесь есть небольшой улов. Обычно домен (или набор возможных Икс значения) для вашего рационального выражения предполагается набор всех действительных чисел. Но если что-то случится, чтобы знаменатель вашей дроби стал равным нулю, результатом будет неопределенная дробь.

Что сделает ваш знаменатель нулевым? Обычно для выяснения требуется всего лишь небольшой экзамен. Например, если знаменатель вашей доли был уменьшен до факторов (х + 2) (х - 2)тогда значение Икс = -2 сделает первый коэффициент равным нулю, и Икс = 2 сделает второй фактор равным нулю.

Таким образом, оба значения -2 и 2 должны быть исключены из области вашего рационального выражения. Вы обычно отмечаете это знаком «не равно» или ≠. Например, если вам нужно исключить -2 и 2 из домена, вы должны написать х ≠ -2,2.

Упрощение рациональных выражений: примеры

Теперь, когда вы понимаете процесс упрощения рациональных выражений, пришло время взглянуть на пару примеров.

Пример 1: Упростите рациональное выражение (Икс² - 4) / (х²+ 4х + 4)

Здесь нет похожих терминов, поэтому вы можете пропустить этот первый шаг. Затем, с вашими острыми глазами и небольшой практикой, вы можете заметить, что числитель и знаменатель легко вычисляются:

(х + 2) (х - 2) / (х + 2) (х + 2)

Возможно, вы также заметите, что (х + 2) является фактором как в числителе, так и в знаменателе. После того, как вы отмените общий коэффициент, у вас останется:

(х - 2) / (х + 2)

Вы упростили свое рациональное выражение настолько, насколько вы можете, но есть еще одна вещь, которую нужно сделать: определить любые «нули» или корни, которые могут привести к неопределенной дроби, чтобы вы могли исключить их из домена. В этом случае легко увидеть, что при проверке, когда Икс = -2, коэффициент снизу будет равен нулю. Итак, ваше упрощенное рациональное выражение на самом деле:

(х - 2) / (х + 2), х ≠ -2

Пример 2: Упростите рациональное выражение х / (х² - 4х)

Не существует одинаковых терминов для объединения, поэтому вы можете перейти к факторингу путем экзамена. Это не так уж трудно определить, что вы можете учесть Икс из нижнего срока, который дает вам:

х / х (х - 4)

Вы можете отменить Икс коэффициент от числителя и знаменателя, который оставляет вас с:

1 / (х - 4)

Теперь ваше рациональное выражение упрощено, но вы также должны отметить Икс значения, которые приведут к неопределенной дроби. В этом случае, Икс = 4 вернет нулевое значение в знаменателе. Итак, ваш ответ:

1 / (х - 4), х 4