Содержание
- Определение абсолютного значения неравенства
- Как решить неравенство абсолютной стоимости
- Абсолютные неравенства без решения
- Интервальная запись
Решение неравенств по абсолютным значениям во многом похоже на решение уравнений по абсолютным значениям, но необходимо учитывать несколько дополнительных деталей. Это помогает уже удобно решать уравнения абсолютной величины, но это нормально, если вы изучаете их вместе!
Определение абсолютного значения неравенства
Прежде всего, неравенство по абсолютной величине это неравенство, которое включает в себя выражение абсолютного значения. Например,
| 5 + Икс | - 10> 6 является неравенством абсолютного значения, поскольку оно имеет знак неравенства> и выражение абсолютного значения | 5 + Икс |.
Как решить неравенство абсолютной стоимости
шаги к решению неравенства абсолютного значения очень похожи на шаги для решения уравнения абсолютного значения:
Шаг 1: Выделите выражение абсолютного значения с одной стороны неравенства.
Шаг 2: Решить положительный «вариант» неравенства.
Шаг 3: Решите отрицательную «версию» неравенства, умножив величину на другой стороне неравенства на −1 и щелкнув знак неравенства.
Это много, чтобы принять все сразу, так вот пример, который проведет вас через шаги.
Решить неравенство для Икс: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Для этого нужно получить | 5 + 5_x_ | само по себе на левой стороне неравенства. Все, что вам нужно сделать, это добавить 3 к каждой стороне:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Теперь есть две «версии» неравенства, которые нам нужно решить: положительная «версия» и отрицательная «версия».
Для этого шага предположим, что все так, как кажется: 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Это простое неравенство; вам просто нужно решить для Икс по-прежнему. Вычтите 5 с обеих сторон, затем разделите обе стороны на 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (вычтите пять с обеих сторон)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (разделить обе стороны на пять)
Икс > 0.
Неплохо! Таким образом, одним из возможных решений нашего неравенства является то, что Икс > 0. Теперь, поскольку здесь задействованы абсолютные значения, пришло время рассмотреть другую возможность.
Чтобы понять это, нужно вспомнить, что означает абсолютное значение. Абсолютная величина измеряет расстояние от нуля. Расстояние всегда положительное, поэтому 9 - это девять единиц от нуля, но −9 - это также девять единиц от нуля.
Так | 9 | = 9, но | −9 | = 9 тоже.
Теперь вернемся к проблеме выше. Работа выше показала, что | 5 + 5_x_ | > 5; другими словами, абсолютное значение «чего-то» больше пяти. Теперь любое положительное число больше пяти будет дальше от нуля, чем пять. Таким образом, первый вариант состоял в том, что «что-то» 5 + 5_x_ больше 5.
То есть: 5 + 5_x_> 5.
Вот сценарий, рассмотренный выше, на шаге 2.
Теперь подумайте немного дальше. Что еще в пяти единицах от нуля? Ну, отрицательная пятерка есть. И все, что дальше по линии от отрицательной пятерки, будет еще дальше от нуля. Таким образом, наше «что-то» может быть отрицательным числом, которое находится дальше нуля, чем отрицательной пятерки. Это означает, что это будет более звучащее число, но технически меньше, чем отрицательная пятерка, потому что она движется в отрицательном направлении на числовой линии.
Таким образом, наше «что-то» 5 + 5x может быть меньше −5.
5 + 5_x_ <−5
Быстрый способ сделать это алгебраически - это умножить величину с другой стороны неравенства 5 на отрицательную, а затем перевернуть знак неравенства:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Тогда решай как обычно.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (вычтите 5 с обеих сторон)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
Икс < −2.
Таким образом, два возможных решения неравенства Икс > 0 или Икс <−2. Проверьте себя, включив несколько возможных решений, чтобы убедиться в справедливости неравенства.
Абсолютные неравенства без решения
Есть сценарий, где будет нет решений для абсолютного значения неравенства, Поскольку абсолютные значения всегда положительны, они не могут быть равны или меньше отрицательных чисел.
Так | Икс | <−2 имеет нет решения потому что результат выражения абсолютного значения должен быть положительным.
Интервальная запись
Написать решение для нашего основного примера в интервальная записьПодумайте, как решение выглядит на числовой линии. Наше решение было Икс > 0 или Икс <−2. На числовой линии это открытая точка в 0, с линией, продолжающейся до положительной бесконечности, и открытая точка в -2, с линией, продолжающейся до отрицательной бесконечности. Эти решения направлены друг на друга, а не навстречу друг другу, поэтому возьмите каждый кусочек отдельно.
Для x> 0 на числовой линии есть открытая точка в нуле, а затем линия, простирающаяся до бесконечности. В обозначениях интервалов открытая точка показана в скобках (), а закрытая точка или неравенства с ≥ или ≤ будут использовать скобки,. Таким образом, для Икс > 0, напишите (0, ∞).
Другая половина, Икс <−2, на числовой линии есть открытая точка в −2, а затем стрелка, продолжающаяся полностью до −∞. В интервальной записи это (−∞, −2).
«Или» в интервальной записи является знаком объединения, ∪.
Таким образом, решение в интервальной записи: (−∞, −2) ∪ (0, ∞).