Содержание
Три метода, наиболее часто используемые для решения систем уравнений - это матрицы замещения, исключения и дополнения. Подстановка и исключение являются простыми методами, которые могут эффективно решить большинство систем из двух уравнений за несколько простых шагов. Метод дополненных матриц требует больше шагов, но его применение распространяется на большее разнообразие систем.
подмена
Подстановка - это метод решения систем уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений, а затем решения этого уравнения. Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении и последующей подстановки значений для этих переменных в другое другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x - 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнении, чтобы получить x = 4 - y, а затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 - y) - 3y = 3. Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Вставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3.
устранение
Исключение является еще одним способом решения систем уравнений путем переписывания одного из уравнений с точки зрения только одной переменной. Метод исключения достигает этого путем сложения или вычитания уравнений друг от друга, чтобы исключить одну из переменных. Например, добавление уравнений x + 2y = 3 и 2x - 2y = 3 дает новое уравнение, 3x = 6 (обратите внимание, что члены y отменены). Система затем решается с использованием тех же методов, что и для замены. Если невозможно исключить переменные в уравнениях, необходимо умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.
Дополненная матрица
Дополненные матрицы также могут быть использованы для решения систем уравнений. Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, который содержит постоянный член на другой стороне уравнения. Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x - y = 0 есть, ...].
Определение решения
Следующий шаг включает использование элементарных операций со строками, таких как умножение или деление строки на постоянную, отличную от нуля, и добавление или вычитание строк. Цель этих операций - преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой первая ненулевая запись в каждой строке равна 1, записи выше и ниже этой записи - все нули, а первая ненулевая запись для каждого строка всегда находится справа от всех таких записей в строках над ней. Рядно-эшелонированная форма для вышеприведенной матрицы есть ...]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).
Приложения
Подстановка и исключение являются более простыми методами решения уравнений и используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре. Метод подстановки особенно полезен, когда одна из переменных уже изолирована в одном из уравнений. Метод исключения полезен, когда коэффициент одной из переменных одинаков (или его отрицательный эквивалент) во всех уравнениях. Основным преимуществом дополненных матриц является то, что их можно использовать для решения систем из трех или более уравнений в ситуациях, когда подстановка и исключение либо невозможны, либо невозможны.