Содержание
В математике последовательность - это любая последовательность чисел, расположенных в возрастающем или убывающем порядке. Последовательность становится геометрической последовательностью, когда вы можете получить каждое число путем умножения предыдущего числа на общий коэффициент. Например, серии 1, 2, 4, 8, 16. , , является геометрической последовательностью с общим множителем 2. Если вы умножите любое число в ряду на 2, вы получите следующее число. В отличие от последовательности 2, 3, 5, 8, 14, 22. , , не является геометрическим, потому что между числами нет общего фактора. Геометрическая последовательность может иметь дробный общий множитель, и в этом случае каждое последующее число меньше предыдущего. 1, 1/2, 1/4, 1/8. , , это пример. Его общий фактор - 1/2.
Тот факт, что геометрическая последовательность имеет общий фактор, позволяет делать две вещи. Первый - вычислить любой случайный элемент в последовательности (который математики любят называть «n-ным» элементом), а второй - найти сумму геометрической последовательности до n-го элемента. Когда вы суммируете последовательность, помещая знак плюс между каждой парой терминов, вы превращаете последовательность в геометрический ряд.
Нахождение n-го элемента в геометрической серии
В общем, вы можете представить любой геометрический ряд следующим образом:
a + ar + ar2 + ар3 + ар4 . . .
где «а» - первый член в ряду, а «г» - общий фактор. Чтобы проверить это, рассмотрим ряд, в котором a = 1 и r = 2. Вы получите 1 + 2 + 4 + 8 + 16. , , оно работает!
Установив это, теперь можно вывести формулу для n-го члена в последовательности (хN).
ИксN = ар(N-1)
Показатель степени равен n - 1, а не n, что позволяет записать первый член в последовательности как ar0, который равен "а".
Проверьте это, рассчитав 4-й член в серии примеров.
Икс4 = (1) • 23 = 8.
Расчет суммы геометрической последовательности
Если вы хотите суммировать расходящуюся последовательность, которая имеет общую норму больше 1 или меньше -1, вы можете делать это только до конечного числа слагаемых. Однако можно вычислить сумму бесконечной сходящейся последовательности, которая имеет общее отношение от 1 до -1.
Чтобы разработать формулу геометрической суммы, начните с рассмотрения того, что вы делаете. Вы ищете в общей сложности следующие серии дополнений:
a + ar + ar2 + ар3 + , , Арканзас(N-1)
Каждый член в серии арКи k идет от 0 до n-1. В формуле суммы ряда используется сигма-заглавная буква - ∑ - что означает добавление всех терминов из (k = 0) в (k = n - 1).
ΣarК = а
Чтобы проверить это, рассмотрим сумму первых 4 членов геометрического ряда, начинающегося с 1 и имеющего общий множитель 2. В приведенной выше формуле a = 1, r = 2 и n = 4. Подставив эти значения, вы получить:
1 • = 15
Это легко проверить, добавив номера в серии самостоятельно. На самом деле, когда вам нужна сумма геометрического ряда, обычно проще добавить числа самостоятельно, когда есть только несколько терминов. Однако, если в серии много терминов, гораздо проще использовать формулу геометрической суммы.