Функция выражает отношения между константами и одной или несколькими переменными. Например, функция f (x) = 5x + 10 выражает связь между переменной x и константами 5 и 10. Известны как производные и выражаются как dy / dx, df (x) / dx или f '(x), дифференцирование определяет скорость изменения одной переменной по отношению к другой - в примере f (x) по отношению к x. Дифференцирование полезно для нахождения оптимального решения, то есть нахождения максимальных или минимальных условий. Существуют некоторые основные правила в отношении дифференцирующих функций.
Дифференцировать постоянную функцию. Производная константы равна нулю. Например, если f (x) = 5, то f ’(x) = 0.
Примените правило мощности, чтобы дифференцировать функцию. Степенное правило гласит, что если f (x) = x ^ n или x возведено в степень n, то f (x) = nx ^ (n - 1) или x возведено в степень (n - 1) и умножено на n , Например, если f (x) = 5x, то f (x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Аналогично, если f (x) = x ^ 10, то f (x) = 9x ^ 9; и если f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, то f (x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.
Найдите производную функции, используя правило произведения. Дифференциал произведения не является произведением дифференциалов его отдельных компонентов: если f (x) = uv, где u и v две отдельные функции, то f (x) не равно f (u), умноженному на f (v). Скорее, производная от произведения двух функций - это первое умножение на производную от второго, плюс второе умножение на производное от первого. Например, если f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), производные двух функций равны 2x + 5 и 3x ^ 2 соответственно. Затем, используя правило произведения, f (x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5х ^ 4 + 20х ^ 3.
Получить производную функции, используя фактор-правило. Частное - это одна функция, разделенная на другую. Производная частного равна знаменателю, умноженному на производную числителя, минус числитель, умноженный на производную знаменателя, затем деленную на квадрат знаменателя. Например, если f (x) = (x ^ 2 + 4x) / (x ^ 3), производные функций числителя и знаменателя равны 2x + 4 и 3x ^ 2 соответственно. Затем, используя правило отношения, f (x) = / (x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) / x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) / х ^ 6.
Используйте общие производные. Производные общих тригонометрических функций, которые являются функциями углов, не должны быть получены из первых принципов - производные от sin x и cos x равны cos x и -sin x соответственно. Производной экспоненциальной функции является сама функция - f (x) = f ’(x) = e ^ x, а производная натуральной логарифмической функции ln x равна 1 / x. Например, если f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, то f (x) = cos x + 2x - 4.