Содержание
В статистике гауссово или нормальное распределение используется для характеристики сложных систем со многими факторами. Как описано в «Истории статистики» Стивена Стиглера, Авраам Де Моивр изобрел дистрибутив, носящий имя Карла Фредрика Гаусса. Вклад Гаусса заключался в том, что он применил метод распределения к методу наименьших квадратов для минимизации ошибки при подборе данных с линией наилучшего соответствия. Таким образом, он сделал это самым важным распределением ошибок в статистике.
мотивация
Как распределяется выборка данных? Что если вы не знаете, как распределяются данные? Есть ли способ проверить гипотезы о данных, не зная основного распределения? Благодаря центральной предельной теореме ответ - да.
Утверждение теоремы
В нем говорится, что среднее значение выборки по бесконечной совокупности является приблизительно нормальным, или гауссовским, со средним значением, равным основной популяции, и дисперсией, равной дисперсии совокупности, деленной на размер выборки. Аппроксимация улучшается по мере увеличения размера выборки.
Утверждение аппроксимации иногда искажается как вывод о сходимости к нормальному распределению. Поскольку приближенное нормальное распределение изменяется с увеличением размера выборки, такое утверждение вводит в заблуждение.
Теорема была разработана Пьером Симоном Лапласом.
Почему это везде
Нормальные распределения вездесущи. Причина исходит из центральной предельной теоремы. Часто, когда измеряется значение, оно представляет собой суммарный эффект многих независимых переменных. Следовательно, измеряемое значение само по себе имеет качество выборки. Например, распределение выступлений спортсмена может иметь форму колокольчика в результате различий в рационе питания, тренировках, генетике, тренировке и психологии. Даже мужские высоты имеют нормальное распределение, являющееся функцией многих биологических факторов.
Гауссовские копулы
То, что называется «функцией связки» с гауссовым распределением, было в новостях в 2009 году из-за ее использования при оценке риска инвестирования в облигации с обеспечением. Неправильное использование этой функции способствовало финансовому кризису 2008-2009 гг. Хотя было много причин кризиса, в ретроспективе гауссовские распределения, вероятно, не должны были использоваться. Функция с более толстым хвостом назначала бы большую вероятность неблагоприятных событий.
отвлечение
Центральная предельная теорема может быть доказана во многих строках путем анализа функции генерирования момента (mgf) (среднее значение выборки - среднее значение по населению) /? (Дисперсия населения / размер выборки) как функции mgf основной популяции. Аппроксимационная часть теоремы вводится путем расширения mgf базовой популяции в виде степенного ряда, после чего показывается, что большинство терминов несущественны по мере увеличения размера выборки.
Это можно доказать в гораздо меньшем количестве строк, используя разложение Тейлора по характеристическому уравнению той же функции и увеличив размер выборки.
Вычислительное удобство
Некоторые статистические модели предполагают, что ошибки являются гауссовыми. Это позволяет использовать распределения функций нормальных переменных, такие как хи-квадрат и F-распределение, для проверки гипотез. В частности, в F-тесте F-статистика состоит из отношения распределений хи-квадрат, которые сами являются функциями параметра нормальной дисперсии. Отношение этих двух факторов приводит к тому, что отклонение компенсируется, что позволяет проверять гипотезы без знания отклонений, кроме их нормальности и постоянства.