Как рассчитать собственные значения

Содержание

• Матрицы, собственные значения и собственные векторы: что они означают
• Как рассчитать собственные значения
• подсказки
• Нахождение собственных векторов

Когда вам преподносят матрицу на уроке математики или физики, вас часто просят найти ее собственные значения. Если вы не уверены, что это значит или как это сделать, задача утомительна и включает в себя множество запутанных терминов, которые еще больше ухудшают ситуацию. Однако процесс вычисления собственных значений не слишком сложен, если вам удобно решать квадратные (или полиномиальные) уравнения, если вы изучите основы матриц, собственных значений и собственных векторов.

Матрицы, собственные значения и собственные векторы: что они означают

Матрицы - это массивы чисел, в которых A обозначает имя общей матрицы, например:

( 1 3 )

= ( 4 2 )

Числа в каждой позиции различаются, и на их месте могут даже быть алгебраические выражения. Это матрица 2 × 2, но они бывают разных размеров и не всегда имеют одинаковое количество строк и столбцов.

Работа с матрицами отличается от работы с обычными числами, и существуют определенные правила для умножения, деления, сложения и вычитания их друг от друга. Термины «собственное значение» и «собственный вектор» используются в матричной алгебре для обозначения двух характеристических величин в отношении матрицы. Эта проблема собственных значений помогает вам понять, что означает этот термин:

∙ v = λ ∙ v

это общая матрица, как и раньше, v является некоторым вектором, а λ является характеристическим значением. Посмотрите на уравнение и обратите внимание, что при умножении матрицы на вектор vэффект заключается в воспроизведении того же вектора, только что умноженного на значение λ. Это необычное поведение и зарабатывает вектор v и количество λ специальных имен: собственный вектор и собственное значение. Это характерные значения матрицы, потому что умножение матрицы на собственный вектор оставляет вектор неизменным, кроме умножения на коэффициент собственного значения.

Как рассчитать собственные значения

Если у вас есть проблема с собственным значением для матрицы в некоторой форме, найти собственное значение легко (потому что результатом будет вектор, такой же, как и исходный, за исключением умножения на постоянный коэффициент - собственное значение). Ответ найден путем решения характеристического уравнения матрицы:

дет ( – λя) = 0

где я является единичной матрицей, которая является пустой, за исключением ряда 1, идущих по диагонали вниз по матрице. «Дет» относится к определителю матрицы, который для общей матрицы:

(б)

= (c d)

Дан кем-то

йе = ad –bc

Итак, характеристическое уравнение означает:

(a - λ b)

дет ( – λя) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

В качестве примера матрицы давайте определим как:

( 0 1 )

= (−2 −3 )

Так что это означает:

дет ( – λя) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Решения для λ являются собственными значениями, и вы решаете это, как любое квадратное уравнение. Решения являются λ = - 1 и λ = - 2.

подсказки

Нахождение собственных векторов

Нахождение собственных векторов - аналогичный процесс. Используя уравнение:

( – λ) ∙ v = 0

с каждым из собственных значений, которые вы нашли по очереди. Это означает:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + б v₂ (0)

( – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Вы можете решить эту проблему, рассматривая каждую строку по очереди. Вам нужно только соотношение v₁ в v₂потому что будет бесконечно много потенциальных решений для v₁ а также v₂.