Факторинг полиномов помогает математикам определить нули или решения функции. Эти нули указывают на критические изменения в возрастающих и убывающих скоростях и в целом упрощают процесс анализа. Для многочленов степени три или выше, то есть максимальный показатель переменной равен трем или больше, факторинг может стать более утомительным. В некоторых случаях методы группировки сокращают арифметику, но в других случаях вам может потребоваться больше узнать о функции или полиноме, прежде чем вы сможете продолжить анализ.
Проанализируйте многочлен, чтобы рассмотреть факторинг по группам. Если полином имеет форму, в которой удаление наибольших общих множителей (GCF) из первых двух слагаемых и последних двух слагаемых выявляет еще один общий фактор, вы можете использовать метод группировки. Например, пусть F (x) = x³ - x² - 4x + 4. Когда вы удаляете GCF из первого и последнего двух членов, вы получаете следующее: x² (x - 1) - 4 (x - 1). Теперь вы можете вытащить (x - 1) из каждой части, чтобы получить, (x² - 4) (x - 1). Используя метод «разности квадратов», вы можете пойти дальше: (x - 2) (x + 2) (x - 1). Как только каждый фактор находится в своей первичной или не благоприятной форме, все готово.
Ищите разницу или сумму кубов. Если у полинома есть только два члена, каждый с идеальным кубом, вы можете разложить его на основе известных кубических формул. Для сумм (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²). Для разностей (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²). Например, пусть G (x) = 8x³ - 125. Тогда факторинг этого многочлена третьей степени основывается на разнице кубов следующим образом: (2x - 5) (4x² + 10x + 25), где 2x - корень куба 8x³ и 5 - это кубический корень из 125. Поскольку 4x² + 10x + 25 является простым, вы закончили факторинг.
Посмотрите, есть ли GCF, содержащий переменную, которая может уменьшить степень многочлена. Например, если H (x) = x³ - 4x, с учетом GCF «x», вы получите x (x² - 4). Затем, используя технику разности квадратов, вы можете разбить многочлен на x (x - 2) (x + 2).
Используйте известные решения для уменьшения степени полинома. Например, пусть P (x) = x³ - 4x² - 7x + 10. Поскольку нет GCF или разности / суммы кубов, вы должны использовать другую информацию для разложения полинома. Как только вы обнаружите, что P (c) = 0, вы знаете, что (x - c) является фактором P (x), основанным на «теореме фактора» алгебры. Поэтому найдите такой «с». В этом случае P (5) = 0, поэтому (x - 5) должен быть фактором. Используя синтетическое или длинное деление, вы получаете коэффициент (x² + x - 2), который делится на (x - 1) (x + 2). Следовательно, P (x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2).