Содержание
- TL; DR (слишком долго; не читал)
- О правильных треугольниках
- Решение специальных прямоугольных треугольников
- Треугольник 30-60-90
- 45-45-90 Треугольник
- Стороны треугольника и пропорции
В математике и геометрии одним из умений, которые отличают экспертов от претендентов, является знание трюков и ярлыков. Время, которое вы тратите на их изучение, окупается временем, сэкономленным при решении проблем. Например, стоит знать два специальных прямоугольных треугольника, которые, как только вы их узнаете, легко решить. В частности, два треугольника - это 30-60-90 и 45-45-90.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Два специальных прямоугольных треугольника имеют внутренние углы 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов.
О правильных треугольниках
Треугольники - это трехсторонние многоугольники, внутренние углы которых составляют до 180 градусов. Прямоугольный треугольник - это особый случай, когда один из углов равен 90 градусам, поэтому два других угла по определению должны составлять до 90. Синус, косинус, тангенс и другие тригонометрические функции обеспечивают способы вычисления внутренних углов прямоугольных треугольников. а также длина их сторон. Другим незаменимым инструментом вычисления прямоугольных треугольников является теорема Пифагора, в которой говорится, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон, или c2 = а2 + б2.
Решение специальных прямоугольных треугольников
Когда вы работаете над любой проблемой прямоугольного треугольника, вам обычно дают хотя бы один угол и одну сторону и просят вычислить оставшиеся углы и стороны. Используя вышеприведенную формулу Пифагора, вы можете рассчитать длину любой стороны, если вам даны две другие. Большим преимуществом специальных прямоугольных треугольников является то, что пропорции длин их сторон всегда одинаковы, поэтому вы можете найти длину всех сторон, если вам дается только одна. Кроме того, если вам дана только одна сторона, а треугольник особенный, вы также можете найти значения углов.
Треугольник 30-60-90
Как следует из названия, прямоугольный треугольник 30-60-90 имеет внутренние углы 30, 60 и 90 градусов. Как следствие, стороны этого треугольника распадаются на пропорции 1: 2: √3, где 1 и √3 - длины противоположной и смежных сторон, а 2 - гипотенуза. Эти числа всегда идут вместе: если вы решите стороны прямоугольного треугольника и обнаружите, что они соответствуют шаблону, 1, 2, √3, вы знаете, что углы будут 30, 60 и 90 градусов. Аналогичным образом, если вам задан один из углов 30, вы знаете, что два других угла равны 60 и 90, а также что стороны будут иметь пропорции 1: 2: √3.
45-45-90 Треугольник
Треугольник 45-45-90 работает так же, как 30-60-90, за исключением того, что два угла равны, как противоположные и смежные стороны. Он имеет внутренние углы 45, 45 и 90 градусов. Пропорции сторон треугольника составляют 1: 1: √2, а доля гипотенузы - √2. Две другие стороны равны по длине друг другу. Если вы работаете с прямоугольным треугольником и один из внутренних углов равен 45 градусам, вы сразу узнаете, что оставшийся угол также должен составлять 45 градусов, потому что весь треугольник должен составлять до 180 градусов.
Стороны треугольника и пропорции
Решая два специальных прямоугольных треугольника, имейте в виду, что это размеры из сторон, которые имеют значение, а не их измерение в абсолютном выражении. Например, у треугольника есть стороны, которые измеряют 1 фут, 1 фут и √2 фута, так что вы знаете, что это треугольник 45-45-90 и имеет внутренние углы 45, 45 и 90 градусов.
Но что вы делаете с прямоугольным треугольником, стороны которого измеряют √17 футов и √17 футов? Пропорции сторон являются ключом. Поскольку обе стороны идентичны, пропорция составляет 1: 1 друг с другом, и поскольку это прямоугольный треугольник, пропорция гипотенузы составляет 1: √2 с любой другой стороной. Равные пропорции указывают на то, что стороны равны 1, 1, √2, что относится только к специальному треугольнику 45-45-90. Чтобы найти гипотенузу, умножьте √17 на √2, чтобы получить √34 фута.