Содержание
Интегрирование функций является одним из основных приложений исчисления. Иногда это просто, как в:
F (x) = ∫ (x3 + 8) дх
В сравнительно сложном примере этого типа вы можете использовать версию базовой формулы для интегрирования неопределенных интегралов:
∫ (хN + А) дх = х(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
где А и С - постоянные.
Таким образом, для этого примера
∫ х3 + 8 = х4/ 4 + 8x + C.
Интеграция основных функций квадратного корня
На первый взгляд, интегрировать функцию квадратного корня неудобно. Например, вы можете помешать:
F (x) = ∫ √dx
Но вы можете выразить квадратный корень как показатель степени, 1/2:
√ х3 = х3(1/2) = х(3/2)
Таким образом, интеграл становится:
∫ (х3/2 + 2x - 7) дх
к которому можно применить обычную формулу сверху:
= х(5/2)/ (5/2) + 2 (х2/ 2) - 7x
= (2/5) х(5/2) + х2 - 7x
Интеграция более сложных функций квадратного корня
Иногда у вас может быть несколько терминов под знаком радикала, как в этом примере:
F (x) = ∫ dx
Вы можете использовать u-замену для продолжения. Здесь вы устанавливаете u равным количеству в знаменателе:
и = √ (х - 3)
Решите это для х, возведя в квадрат обе стороны и вычтя:
U2 = х - 3
х = ты2 + 3
Это позволяет вам получить dx в терминах u, взяв производную от x:
dx = (2u) du
Подстановка обратно в исходный интеграл дает
F (x) = ∫ (и2 + 3 + 1) / уду
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) дю
Теперь вы можете интегрировать это, используя базовую формулу и выражая u через x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + С
= (2/3) (х - 3)(3/2) + 8 (х - 3)(1/2) + C