Содержание
Одна из важных операций, которую вы выполняете в исчислении, - это поиск производных. Производная функции также называется скоростью изменения этой функции. Например, если x (t) - это положение автомобиля в любой момент времени t, то производная от x, обозначаемая как dx / dt, - это скорость автомобиля. Кроме того, производная может быть визуализирована как наклон линии, касательной к графику функции. На теоретическом уровне именно так математики находят производные. На практике математики используют наборы основных правил и справочных таблиц.
Производная как уклон
Наклон линии между двумя точками - это увеличение или разница в значениях y, деленная на пробег, или разница в значениях x. Наклон функции y (x) для определенного значения x определяется как наклон линии, касающейся функции в точке. Чтобы вычислить наклон, вы строите линию между точкой и ближайшей точкой, где h - очень маленькое число. Для этой строки значение или изменение значения x равно h, а увеличение или изменение значения y равно y (x + h) - y (x). Следовательно, наклон y (x) в точке приблизительно равен / = / h. Чтобы точно получить наклон, вы вычисляете значение наклона, когда h становится все меньше и меньше, до «предела», где он стремится к нулю. Рассчитанный таким образом наклон представляет собой производную от y (x), которая записывается как y ’(x) или dy / dx.
Производная степенной функции
Вы можете использовать метод наклона / предела для вычисления производных функций, где y равно x степени а, или y (x) = x ^ a. Например, если y равно x в кубе, y (x) = x ^ 3, то dy / dx является пределом, поскольку h обращается в ноль / h. Расширение (x + h) ^ 3 дает / ч, что сокращается до 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 после деления на h. В пределе, когда h стремится к нулю, все слагаемые, содержащие h, также стремятся к нулю. Итак, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Вы можете сделать это для значений, отличных от 3, и, в общем, вы можете показать, что d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Производная от серии Power
Многие функции могут быть записаны как так называемые степенные ряды, которые представляют собой сумму бесконечных чисел, каждая из которых имеет вид C (n) x ^ n, где x - переменная, n - целое число, а C ( n) является конкретным числом для каждого значения n. Например, степенной ряд для функции синуса равен Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., где «...» означает, что термины, продолжающиеся на до бесконечности. Если вам известен степенной ряд для функции, вы можете использовать производную степени x ^ n для вычисления производной функции. Например, производная Sin (x) равна 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., что является степенным рядом для Cos (x).
Производные из таблиц
Производные основных функций, таких как степени x ^ a, экспоненциальные функции, функции логарифма и триггерные функции, находятся с использованием метода наклона / предела, метода степенных рядов или других методов. Эти производные затем перечислены в таблицах. Например, вы можете посмотреть, что производная от Sin (x) есть Cos (x). Когда сложные функции являются комбинациями основных функций, вам нужны специальные правила, такие как правило цепочки и правило продукта, которые также приведены в таблицах. Например, вы используете цепное правило, чтобы найти, что производная от Sin (x ^ 2) равна 2xCos (x ^ 2). Вы используете правило произведения, чтобы найти, что производная xSin (x) есть xCos (x) + Sin (x). Используя таблицы и простые правила, вы можете найти производную любой функции. Но когда функция чрезвычайно сложна, ученые иногда прибегают к помощи компьютерных программ.