Дробные показатели: правила умножения и деления

Содержание

• TL; DR (слишком долго; не читал)
• Что такое дробные экспоненты?
• Правила дробной экспоненты: умножение дробной экспоненты на одну и ту же базу
• Правила дробной экспоненты: деление дробной экспоненты с одинаковым основанием
• Умножение и деление дробных показателей в разных базисах

Обучение работе с показателями является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют правилам для не дробных показателей. Первым шагом к пониманию того, как обращаться с дробными показателями, является краткое изложение того, что именно они есть, а затем вы можете посмотреть, как вы можете комбинировать показатели, когда они умножены или разделены и имеют одинаковую базу. Вкратце, вы складываете экспоненты вместе при умножении и вычитаете одно из другого при делении, если они имеют одинаковую базу.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Умножьте термины на показатели, используя общее правило:

Икс + Икс^б = Икс^{( + б)}

И разделите термины с показателями, используя правило:

Икс ÷ Икс^б = Икс^{( – б)}

Эти правила работают с любым выражением вместо а также бчетные дроби.

Что такое дробные экспоненты?

Дробные показатели дают компактный и полезный способ выражения квадратных, кубических и высших корней. Знаменатель в экспоненте говорит вам, какой корень «базового» числа представляет термин. В срок как Икс, ты звонишь Икс база и экспонента. Итак, дробный показатель говорит вам:

Икс^1/2 = √Икс

Знаменатель двух на экспоненте говорит вам, что вы берете квадратный корень из Икс в этом выражении. То же самое основное правило применяется к высшим корням:

Икс^1/3 = ∛Икс

А также

Икс^1/4 = ⁴√x

Эта картина продолжается. Для конкретного примера:

9^1/2 = √9 = 3

А также

8^1/3 = ∛8 = 2

Правила дробной экспоненты: умножение дробной экспоненты на одну и ту же базу

Умножьте слагаемые с дробными показателями (при условии, что они имеют одинаковое основание), сложив вместе показатели. Например:

Икс^1/3 × Икс^1/3 × Икс^1/3 = Икс ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= Икс¹ = Икс

поскольку Икс^1/3 означает «кубический корень ИксИмеет смысл, что это умноженное на себя в два раза дает результат Икс, Вы также можете столкнуться с примерами, такими как Икс^1/3 × Икс^1/3, но вы поступаете с ними точно так же:

Икс^1/3 × Икс^1/3 = Икс ^{(1/3 + 1/3)}

= Икс^2/3

Тот факт, что выражение в конце все еще является дробным показателем, не имеет значения для процесса. Это может быть упрощено, если вы заметите, что Икс^2/3 = (Икс^1/3)² = ∛Икс², С таким выражением не имеет значения, берете ли вы корень или власть первыми. Этот пример иллюстрирует, как рассчитать это:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Поскольку кубический корень из 8 легко понять, решите это следующим образом:

∛8² = 2² = 4

Итак, это значит:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Вы также можете столкнуться с произведениями дробных показателей с разными числами в знаменателях дробей, и вы можете добавлять эти показатели так же, как добавляли другие дроби. Например:

Икс^1/4 × Икс^1/2 = Икс^{(1/4 + 1/2)}

= Икс^{(1/4 + 2/4)}

= Икс^3/4

Это все конкретные выражения общего правила умножения двух выражений на экспоненты:

Икс + Икс^б = Икс^{( + б)}

Правила дробной экспоненты: деление дробной экспоненты с одинаковым основанием

Решите деление двух чисел с дробными показателями, вычитая экспоненту, которую вы делите (делитель), к тому, который вы делите (дивиденд). Например:

Икс^1/2 ÷ Икс^1/2 = Икс^{(1/2 – 1/2)}

= Икс⁰ = 1

Это имеет смысл, поскольку любое число, разделенное само по себе, равно единице, и это согласуется со стандартным результатом, согласно которому любое число, возведенное в степень 0, равно единице. В следующем примере числа используются в качестве базисов и различных показателей степени:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Что вы также можете увидеть, если вы заметите, что 16^1/2 = 4 и 16^1/4 = 2.

Как и в случае умножения, вы можете также получить дробные показатели, у которых в числителе есть число, отличное от единицы, но вы поступаете с ними таким же образом.

Они просто выражают общее правило для деления показателей:

Икс ÷ Икс^б = Икс^{( – б)}

Умножение и деление дробных показателей в разных базисах

Если основания на терминах различны, нет простого способа умножить или разделить показатели. В этих случаях просто вычислите значение отдельных терминов, а затем выполните необходимую операцию. Единственное исключение - если показатель одинаковый, и в этом случае вы можете умножить или разделить их следующим образом:

Икс⁴ × Y⁴ = (ху)⁴

Икс⁴ ÷ Y⁴ = (х ÷ у)⁴