Как определить, является ли отношение функцией

Содержание

• TL; DR (слишком долго; не читал)
• Математическое представление
• Определение домена
• Когда отношение не является функцией?

В математике функция - это правило, которое связывает каждый элемент в одном наборе, называемом доменом, с ровно одним элементом в другом наборе, называемом диапазоном. На оси x-y домен представлен на оси x (горизонтальная ось), а домен - на оси y (вертикальная ось). Правило, связывающее один элемент в домене с более чем одним элементом в диапазоне, не является функцией. Это требование означает, что, если вы представляете график функции, вы не можете найти вертикальную линию, которая пересекает график более чем в одном месте.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Отношение является функцией, только если оно связывает каждый элемент в своей области только с одним элементом в диапазоне. Когда вы строите график функции, вертикальная линия будет пересекать ее только в одной точке.

Математическое представление

Математики обычно представляют функции буквами «f (x)», хотя любые другие буквы работают так же хорошо. Вы читаете буквы как «е х». Если вы решите представить функцию как g (y), вы прочитаете ее как «g of y». Уравнение для функции определяет правило, по которому входное значение x преобразуется в другое число. Существует бесконечное количество способов сделать это. Вот три примера:

f (x) = 2x

г (у) = у² + 2 года + 1

р (м) = 1 / √ (м - 3)

Определение домена

Множество номеров, для которых функция «работает», является доменом. Это могут быть все числа или конкретный набор чисел. Домен также может быть всеми числами, кроме одного или двух, для которых функция не работает. Например, домен для функции f (x) = 1 / (2-x) - это все числа, кроме 2, потому что при вводе двух знаменатель равен 0, а результат не определен. Домен для 1 / (4 - х²), с другой стороны, это все числа, кроме +2 и -2, потому что квадрат обоих этих чисел равен 4.

Вы также можете определить область функции, посмотрев на ее график. Начиная с крайней левой стороны и двигаясь вправо, проведите вертикальные линии через ось X. Домен - это все значения x, для которых линия пересекает график.

Когда отношение не является функцией?

По определению, функция связывает каждый элемент в домене только с одним элементом в диапазоне. Это означает, что каждая вертикальная линия, которую вы проводите через ось X, может пересекать функцию только в одной точке. Это работает для всех линейных уравнений и уравнений более высокой мощности, в которых только член x возведен в степень. Это не всегда работает для уравнений, в которых оба члена x и y возведены в степень. Например, х² + у² = а² определяет круг. Вертикальная линия может пересекать окружность в более чем одной точке, поэтому это уравнение не является функцией.

В общем случае отношение f (x) = y является функцией только в том случае, если для каждого значения x, которое вы в нее вставляете, вы получаете только одно значение для y. Иногда единственный способ определить, является ли данное отношение функцией или нет, состоит в том, чтобы попробовать различные значения для x, чтобы увидеть, дают ли они уникальные значения для y.

Примеры: Следующие уравнения определяют функции?

у = 2х +1 Это уравнение прямой линии с уклоном 2 и y-пересечением 1, так что это ЯВЛЯЕТСЯ функция.

у2 = х + 1 Пусть x = 3. Тогда значение для y может составлять ± 2, так что НЕ ЯВЛЯЕТСЯ функция.

Y³ = х² Независимо от того, какое значение мы установили для х, получим только одно значение для у, так что это ЯВЛЯЕТСЯ функция.

Y² = х² Потому что у = ± √x², это НЕ ЯВЛЯЕТСЯ функция.