Содержание
Как только вы начинаете решать алгебраические уравнения, включающие полиномы, способность распознавать специальные, легко разлагаемые формы полиномов становится очень полезной. Один из наиболее полезных «многофакторных» многочленов для определения - это идеальный квадрат или трином, получающийся в результате возведения в квадрат бинома. После того как вы определили идеальный квадрат, разделение его на отдельные компоненты часто становится важной частью процесса решения проблем.
Идентификация идеальных квадратных триномов
Прежде чем вы сможете найти идеальный квадратный трином, вы должны научиться его распознавать. Идеальный квадрат может принимать любую из двух форм:
Вот некоторые примеры идеальных квадратов, которые вы можете увидеть в «реальном мире» математических задач:
Что является ключом к распознаванию этих идеальных квадратов?
Проверьте первый и третий члены тринома. Они оба квадраты? Если да, выясните, что это за квадраты. Например, во втором примере «реального мира», приведенном выше, Y2 - 2_й_ + 1, срок Y2 очевидно, квадрат у. Термин 1, возможно, менее очевидно, квадрат 1, потому что 12 = 1.
Умножьте корни первого и третьего слагаемых вместе. Чтобы продолжить пример, вот Y и 1, который дает вам Y × 1 = 1_y_ или просто Y.
Затем умножьте ваш продукт на 2. Продолжая пример, вы получите 2_y._
Наконец, сравните результат последнего шага со средним членом многочлена. Они совпадают? В полином Y2 - 2_y_ + 1, они делают. (Знак не имеет значения; он также будет совпадением, если средний член был + 2_y_.)
Поскольку ответ на шаге 1 был «да», а ваш результат на шаге 2 соответствует среднему члену полинома, вы знаете, что смотрите на идеальный квадратный трином.
Факторинг идеального квадратного тринома
Если вы знаете, что смотрите на идеальный квадратный трином, процесс его разложения довольно прост.
Укажите корни или числа, возводимые в квадрат, в первом и третьем членах тринома. Рассмотрим еще один пример трехчленов, который, как вы уже знаете, является идеальным квадратом, Икс2 + 8_x_ + 16. Очевидно, что число, возводимое в квадрат в первом члене, равно Икс, Число, возведенное в квадрат в третьем члене, равно 4, потому что 42 = 16.
Вспомните формулы для идеальных квадратных триномов. Вы знаете, что ваши факторы будут принимать форму ( + б)( + б) или форма ( – б)( – б), где а также б числа возводятся в квадрат в первом и третьем членах. Таким образом, вы можете написать свои факторы таким образом, опуская знаки в середине каждого термина на данный момент:
( ? б)( ? б) = 2 ? 2_ab_ + б2
Чтобы продолжить пример, подставив корни текущего тринома, вы должны:
(Икс ? 4)(Икс ? 4) = Икс2 + 8_x_ + 16
Проверьте средний член тринома. Имеет ли он положительный знак или отрицательный знак (или, другими словами, он добавляется или вычитается)? Если он имеет положительный знак (или добавляется), то оба фактора тринома имеют знак плюс в середине. Если он имеет отрицательный знак (или вычитается), оба фактора имеют отрицательный знак в середине.
Средний член текущего примерного тринома - 8_x_ - его положительный результат, так что теперь вы вычислили идеальный квадратный трином:
(Икс + 4)(Икс + 4) = Икс2 + 8_x_ + 16
Проверьте свою работу, умножив два фактора вместе. Применение FOIL или первого, внешнего, внутреннего, последнего метода дает вам:
Икс2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Упрощение этого дает результат Икс2 + 8_x_ + 16, что соответствует вашему трехчлену. Так что факторы верны.