Как рационализировать знаменатель

Содержание

• TL; DR (слишком долго; не читал)
• Рационализация дроби с одним членом в знаменателе
• Рационализация дроби с двумя терминами в знаменателе
• Рационализация кубических корней

Вы не можете решить уравнение, которое содержит дробь с иррациональным знаменателем, что означает, что знаменатель содержит член со знаком радикала. Это включает в себя квадрат, куб и высшие корни. Избавление от радикального знака называется рационализацией знаменателя. Когда знаменатель имеет один термин, вы можете сделать это, умножив верхний и нижний члены на радикал. Когда знаменатель имеет два члена, процедура немного сложнее. Вы умножаете верх и низ на сопряжение знаменателя и расширяете и просто числитель.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы рационализировать дробь, вы должны умножить числитель и знаменатель на число или выражение, которое избавляет от радикальных знаков в знаменателе.

Рационализация дроби с одним членом в знаменателе

Фракцию с квадратным корнем из одного члена в знаменателе проще всего объяснить. В общем случае дробь принимает вид a / √x. Вы рационализируете это, умножив числитель и знаменатель на √x.

√x / √x • a / √x = a√x / x

Поскольку все, что вы сделали, это умножили дробь на 1, ее значение не изменилось.

Пример:

Рационализировать 12 / √6

Умножьте числитель и знаменатель на √6, чтобы получить 12√6 / 6. Вы можете упростить это, разделив 6 на 12, чтобы получить 2, так что упрощенная форма рационализированной дроби

2√6

Рационализация дроби с двумя терминами в знаменателе

Предположим, у вас есть дробь в виде (a + b) / (√x + √y). Вы можете избавиться от радикального знака в знаменателе, умножив выражение на его сопряженное. Для общего бинома вида x + y сопряженным является x - y. Когда вы умножаете их вместе, вы получаете х² - у², Применяя эту технику к обобщенной дроби выше:

(a + b) / (√x - √y) • (√x - √y) / (√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) / x - y

Разверните числитель, чтобы получить

(a√x -a√y + b√x - b√y) / x - y

Это выражение становится менее сложным, когда вы заменяете целые числа на некоторые или все переменные.

Пример:

Рационализировать знаменатель дроби 3 / (1 - √y)

Сопряженный знаменателя равен 1 - (-√y) = 1+ √y. Умножьте числитель и знаменатель на это выражение и упростите:

[3 • (1 + √y)} / 1 - y

(3 + 3√y) / 1-y

Рационализация кубических корней

Когда у вас есть корень куба в знаменателе, вы должны умножить числитель и знаменатель на корень куба квадрата числа под знаком радикала, чтобы избавиться от знака радикала в знаменателе. В общем, если у вас есть дробь в виде а / ³√x, умножьте верх и низ на ³√x².

Пример:

Рационализировать знаменатель: 7 / ³√x

Умножьте числитель и знаменатель на ³√x² получить

7 • ³√x² / ³√x • ³√x² = 7 • ³√x² / ³√x³

7 • ³√x² / Икс