Содержание
- TL; DR (слишком долго; не читал)
- Что такое комплексное число?
- Основные правила для алгебры с комплексными числами
- Разделительные комплексные числа
- Упрощение комплексных чисел
Алгебра часто включает в себя упрощение выражений, но некоторые выражения более запутанны, чем другие. Комплексные числа включают количество, известное как я«мнимое» число со свойством я = √ − 1. Если вам нужно просто выражение, содержащее комплексное число, это может показаться пугающим, но это довольно простой процесс, когда вы изучите основные правила.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Упростите комплексные числа, следуя правилам алгебры с комплексными числами.
Что такое комплексное число?
Комплексные числа определяются их включением я термин, который является квадратным корнем минус один. В математике базового уровня квадратные корни отрицательных чисел в действительности не существуют, но они иногда обнаруживаются в задачах алгебры. Общая форма для комплексного числа показывает их структуру:
Z = + би
где Z обозначает комплексное число, представляет любое число (называемое «реальной» частью), и б представляет другое число (называемое «мнимой» частью), оба из которых могут быть положительными или отрицательными. Итак, пример комплексного числа:
Z = 2 −4_i_
Поскольку все квадратные корни отрицательных чисел могут быть представлены кратными яэто форма для всех комплексных чисел. Технически, обычное число просто описывает частный случай комплексного числа, где б = 0, поэтому все числа можно считать сложными.
Основные правила для алгебры с комплексными числами
Чтобы сложить и вычесть комплексные числа, просто сложите или вычтите действительные и мнимые части по отдельности. Так что для комплексных чисел Z = 2 - 4_i_ и вес = 3 + 5_i_, сумма:
Z + вес = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)я
= 5 + 1_i_ = 5 + я
Вычитание чисел работает аналогично:
Z − вес = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)я
= −1 - 9_i_
Умножение - это еще одна простая операция с комплексными числами, потому что она работает как обычное умножение, за исключением того, что вы должны помнить, что я2 = -1 Итак, для расчета 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Но с тех пор я2= -1, тогда:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
С полными комплексными числами (используя Z = 2 - 4_i_ и вес = 3 + 5_i_ снова), вы умножаете их так же, как с обычными числами вроде ( + б) (с + d), используя метод «первый, внутренний, внешний, последний» (FOIL), чтобы + б) (с + d) = переменный ток + до н.э + объявление + бод, Все, что вам нужно помнить, это упростить любые случаи я2, Так, например:
Z × вес = (2 - 4_i_) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 -2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Разделительные комплексные числа
Разделение комплексных чисел включает умножение числителя и знаменателя дроби на комплексное сопряжение знаменателя. Комплексное сопряжение просто означает версию комплексного числа с мнимой частью, обращенной знаком. Таким образом, для Z = 2 - 4_i_, комплексное сопряжение Z = 2 + 4_i_, а для вес = 3 + 5_i_, вес = 3 −5_i_. Для проблемы:
Z / вес = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Необходимый конъюгат вес*. Разделите числитель и знаменатель на это, чтобы дать:
Z / вес = (2-4_i_) (3-5_i_) / (3 + 5_i_) (3-5_i_)
И тогда вы работаете, как в предыдущем разделе. Числитель дает:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
И знаменатель дает:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Это означает:
Z / вес = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Упрощение комплексных чисел
При необходимости используйте приведенные выше правила для упрощения сложных выражений. Например:
Z = ((4 + 2_i_) + (2 - я)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ я))
Это можно упростить, используя правило сложения в числителе, правило умножения в знаменателе, а затем завершив деление. Для числителя:
(4 + 2_i_) + (2 - я) = 6 + я
Для знаменателя:
(2 + 2_i _) (2+ я) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Установка их на место дает:
Z = (6 + я) / (2 + 6_i_)
Умножение обеих частей на сопряженное знаменателя приводит к:
Z = (6 + я) (2-6_i_) / (2 + 6_i_) (2-6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Так это значит Z упрощается следующим образом:
Z = ((4 + 2_i_) + (2 - я)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ я)) = 9/20 −17_i_ / 20