Содержание
Скорости изменений проявляются повсюду в науке, и особенно в физике, через такие величины, как скорость и ускорение. Производные описывают скорость изменения одной величины по отношению к другой математически, но иногда их вычисление может быть сложным, и вам может быть представлен график, а не функция в форме уравнения. Если вам представлен график кривой, и вам нужно найти ее производную, вы не сможете быть столь же точным, как с уравнением, но вы можете легко сделать надежную оценку.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Выберите точку на графике, чтобы найти значение производной в.
Нарисуйте прямую, касательную к кривой графика в этой точке.
Возьмите наклон этой линии, чтобы найти значение производной в выбранной вами точке на графике.
Что такое производная?
Помимо абстрактной настройки дифференцирования уравнения, вы можете быть немного озадачены тем, что на самом деле является производной. В алгебре производная функции - это уравнение, которое сообщает вам значение «наклона» функции в любой точке. Другими словами, он говорит вам, насколько изменяется одно количество при небольшом изменении другого. На графике градиент или наклон линии говорит вам, насколько зависимая переменная (помещена на Yось) изменяется с независимой переменной (на Икс-ось).
Для линейных графиков вы определяете (постоянную) скорость изменения, вычисляя наклон графика. Отношения, описываемые кривыми, не так просты в обращении, но принцип, что производная просто означает наклон (в этой конкретной точке), все еще остается верным.
Для отношений, описываемых кривыми, производная принимает различное значение в каждой точке кривой. Чтобы оценить производную графика, вам нужно выбрать точку, по которой будет производная. Например, если у вас есть график, показывающий расстояние, пройденное во времени, на прямолинейном графике, уклон сообщит вам постоянную скорость. Для скоростей, которые изменяются со временем, график будет представлять собой кривую, но прямая линия, которая просто касается кривой в одной точке (линия, касательная к кривой), представляет скорость изменения в этой конкретной точке.
Выберите место, где вы должны знать производную. Используя пример пройденного расстояния и времени, выберите время, в которое вы хотите узнать скорость перемещения. Если вам нужно узнать скорость в нескольких разных точках, вы можете выполнить этот процесс для каждой отдельной точки. Если вы хотите узнать скорость через 15 секунд после начала движения, выберите точку на кривой через 15 секунд на Икс-ось.
Нарисуйте линию, касательную к кривой, в точке, которая вас интересует. Не торопитесь, делая это, потому что это самая важная и сложная часть процесса. Ваша оценка будет лучше, если вы нарисуете более точную касательную линию. Держите линейку до точки на кривой и отрегулируйте ее ориентацию так, чтобы нарисованная линия только коснитесь кривой в единственной точке, которая вас интересует.
Нарисуйте свою линию, пока график позволит. Убедитесь, что вы можете легко прочитать два значения для обоих Икс а также Y координаты, одна в начале вашей линии и одна в конце. Вам абсолютно не нужно рисовать длинную линию (технически подходит любая прямая линия), но более длинные линии легче измерить наклоном.
Найдите два места на вашей линии и запишите Икс а также Y координаты для них. Например, представьте свою касательную линию как два заметных пятна в Икс = 1, Y = 3 и Икс = 10, Y = 30, который можно назвать Точкой 1 и Точкой 2. Используя символы Икс1 а также Y1 представлять координаты первой точки и Икс2 а также Y2 представлять координаты второй точки, наклона м дан кем-то:
м = (Y2 - у1) ÷ (Икс2 – Икс1)
Это говорит вам о производной кривой в точке, где линия касается кривой. В примере Икс1 = 1, Икс2 = 10, Y1 = 3 и Y2 = 30, так:
м = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
В этом примере это будет скорость в выбранной точке. Так что если Иксось была измерена в секундах и Y-ось измерялась в метрах, результат означал бы, что рассматриваемое транспортное средство двигалось со скоростью 3 метра в секунду. Независимо от конкретной суммы, которую вы рассчитываете, процесс оценки производной одинаков.