Евклидово расстояние - это расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве. Евклидово пространство было первоначально разработано греческим математиком Евклидом около 300 г. до н.э. изучить отношения между углами и расстояниями. Эта система геометрии все еще используется сегодня и является той, которую ученики старших классов изучают чаще всего. Евклидова геометрия особенно применима к пространствам двух и трех измерений. Однако его можно легко обобщить до измерений более высокого порядка.
Вычислить евклидово расстояние для одного измерения. Расстояние между двумя точками в одном измерении - это просто абсолютное значение разницы между их координатами. Математически это показано как | p1 - q1 | где p1 - первая координата первой точки, а q1 - первая координата второй точки. Мы используем абсолютное значение этой разницы, поскольку обычно считается, что расстояние имеет только неотрицательное значение.
Возьмем две точки P и Q в двухмерном евклидовом пространстве. Мы опишем P с координатами (p1, p2) и Q с координатами (q1, q2). Теперь построим отрезок с конечными точками P и Q. Этот отрезок сформирует гипотенузу прямоугольного треугольника. Расширяя результаты, полученные на шаге 1, отметим, что длины ножек этого треугольника имеют вид | p1 - q1 | и | p2 - q2 |. Расстояние между этими двумя точками будет дано как длина гипотенузы.
Используйте теорему Пифагора для определения длины гипотенузы на шаге 2. Эта теорема утверждает, что c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, где c - длина гипотенузы в прямоугольных треугольниках, а a, b - длины других две ноги. Это дает нам c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Таким образом, расстояние между двумя точками P = (p1, p2) и Q = (q1, q2) в двухмерном пространстве составляет ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Расширьте результаты шага 3 до трехмерного пространства. Расстояние между точками P = (p1, p2, p3) и Q = (q1, q2, q3) может быть задано как ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Обобщите решение на шаге 4 для расстояния между двумя точками P = (p1, p2, ..., pn) и Q = (q1, q2, ..., qn) в n измерениях. Это общее решение может быть задано как ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).