Как найти корни многочлена

Содержание

• Сколько корней?
• Предупреждения
• Найти корни по факторингу: пример 1
• Найти корни по факторингу: пример 2
• Найти корни с помощью графиков

Корни многочлена также называют его нулями, потому что корни являются Икс значения, при которых функция равна нулю. Когда дело доходит до поиска корней, у вас есть несколько техник; Факторинг - это метод, который вы будете использовать чаще всего, хотя также может быть полезен и график.

Сколько корней?

Изучите член полинома высшей степени, то есть член с наибольшим показателем степени. Этот показатель показывает, сколько корней будет иметь многочлен. Таким образом, если максимальный показатель в вашем полиноме равен 2, он будет иметь два корня; если наивысший показатель равен 3, он будет иметь три корня; и так далее.

Предупреждения

Найти корни по факторингу: пример 1

Самый универсальный способ найти корни - максимально разложить множитель, а затем установить каждый член равным нулю. Это имеет больше смысла, когда вы пройдете через несколько примеров. Рассмотрим простой полином Икс² - 4_x: _

Краткий осмотр показывает, что вы можете учесть Икс из обоих членов полинома, который дает вам:

Икс(Икс – 4)

Установите каждый член на ноль. Это означает решение для двух уравнений:

Икс = 0 - первый член, установленный на ноль, и

Икс - 4 = 0 - это второе слагаемое, установленное на ноль.

У вас уже есть решение первого срока. Если Икс = 0, тогда все выражение равно нулю. Так Икс = 0 является одним из корней или нулей многочлена.

Теперь рассмотрим второй срок и решим для Икс, Если вы добавите 4 к обеим сторонам, вы получите:

Икс - 4 + 4 = 0 + 4, что упрощает:

Икс = 4. Так что если Икс = 4, тогда второй фактор равен нулю, что означает, что весь многочлен также равен нулю.

Поскольку исходный многочлен имел вторую степень (самый высокий показатель был равен двум), вы знаете, что у этого многочлена есть только два возможных корня. Вы уже нашли их обоих, поэтому все, что вам нужно сделать, это перечислить их:

Икс = 0, Икс = 4

Найти корни по факторингу: пример 2

Вот еще один пример того, как найти корни с помощью факторинга, используя некоторую причудливую алгебру. Рассмотрим полином Икс⁴ - 16. Беглый взгляд на его показатели показывает, что для этого полинома должно быть четыре корня; теперь пришло время их найти.

Вы заметили, что этот многочлен можно переписать как разность квадратов? Так что вместо Икс⁴ - 16, у вас есть:

(Икс²)² – 4²

Что, используя формулу для разности квадратов, учитывает следующее:

(Икс² – 4)(Икс² + 4)

Первый член, опять же, разница квадратов. Таким образом, хотя вы не можете больше использовать термин справа, вы можете добавить термин слева еще на шаг:

(Икс – 2)(Икс + 2)(Икс² + 4)

Теперь пришло время найти нули. Быстро становится ясно, что если Икс = 2, первый фактор будет равен нулю, и, следовательно, все выражение будет равно нулю.

Точно так же, если Икс = -2, второй множитель будет равен нулю, и, следовательно, так будет и все выражение.

Так Икс = 2 и Икс = -2 оба являются нулями или корнями этого многочлена.

Но как насчет этого последнего срока? Поскольку он имеет показатель «2», он должен иметь два корня. Но вы не можете учесть это выражение, используя действительные числа, к которым вы привыкли. Вы должны использовать очень продвинутую математическую концепцию, называемую мнимыми числами или, если хотите, комплексными числами. Это далеко выходит за рамки вашей текущей математической практики, поэтому на данный момент достаточно заметить, что у вас есть два реальных корня (2 и -2) и два воображаемых корня, которые вы оставите неопределенными.

Найти корни с помощью графиков

Вы также можете найти или, по крайней мере, оценить корни, построив график. Каждый корень представляет собой точку, где график функции пересекает Икс ось. Так что если вы наметите линию, а затем обратите внимание на Икс координаты, где линия пересекает Икс ось, вы можете вставить оценочный Икс значения этих точек в вашем уравнении и проверьте, правильно ли вы их получили.

Рассмотрим первый пример, над которым вы работали, для полинома. Икс² - 4_x_. Если вы тщательно его вытяните, вы увидите, что линия пересекает Икс ось в Икс = 0 и Икс = 4. Если вы введете каждое из этих значений в исходное уравнение, вы получите:

0² - 4 (0) = 0, так Икс = 0 был действительным нулем или корнем для этого многочлена.

4² - 4 (4) = 0, так Икс = 4 также является действительным нулем или корнем для этого многочлена. И поскольку полином имел степень 2, вы знаете, что можете перестать искать, найдя два корня.